FISICA: junio 2012

"Ley de Hooke para los resortes"

La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuación del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza $F$ ejercida sobre el resorte con la elongación o alargamiento $\delta$ producido:

$F = - k\delta \,$

donde $k$ se llama constante elástica del resorte y $\delta$ es su elongación o variación que experimenta su longitud.
La energía de deformación o energía potencial elástica $U_k$ asociada al estiramiento del resorte viene dada por la siguiente ecuación:

$U_k=\frac{1}{2} k{\delta}^2$

Es importante notar que la $k$ antes definida depende de la longitud del muelle y de su constitución. Definiremos ahora una constante intrínseca del resorte independiente de la longitud de este y estableceremos así la ley diferencial constitutiva de un muelle. Multiplicando $k$ por la longitud total, y llamando al producto $k_i$ o $k$ intrínseca, se tiene:

$k=\frac{k_i}{L}$

Llamaremos $F(x)$ a la tensión en una sección del muelle situada una distancia x de uno de sus extremos que tomamos como origen de coordenadas, $k_{\Delta x}$ a la constante de un pequeño trozo de muelle de longitud $\Delta x$ a la misma distancia y $\delta_{\Delta x}$ al alargamiento de ese pequeño trozo en virtud de la aplicación de la fuerza $F(x)$ . Por la ley del muelle completo:

$F(x)=-k_{\Delta x}\delta_{\Delta x}=-k_i\frac{\delta_{\Delta x}}{\Delta x}$

Tomando el límite:

$F(x)=-k_i\frac{{\delta}_{dx}}{dx}$

que por el principio de superposición resulta:

$F\left(x\right)=-k_i\frac{d{\delta}}{dx}=-AE\frac{d\delta}{dx}$

Que es la ecuación diferencial del muelle. Si se integra para todo $x$ , de obtiene como ecuación de onda unidimensional que describe los fenómenos ondulatorios (Ver: Muelle elástico). La velocidad de propagación de las vibraciones en un resorte se calcula como:

$c=\sqrt{\frac{E}{\rho}}$

"Ley de Hooke en sólidos elásticos"

En la mecánica de sólidos deformables elásticos la distribución de tensiones es mucho más complicada que en un resorte o una barra estirada sólo según su eje. La deformación en el caso más general necesita ser descrita mediante un tensor de deformaciones mientras que los esfuerzos internos en el material necesitan ser representados por un tensor de tensiones. Estos dos tensores están relacionados por ecuaciones lineales conocidas por ecuaciones de Hooke generalizadas o ecuaciones de Lamé-Hooke, que son las ecuaciones constitutiva que caracterizan el comportamiento de un sólido elástico lineal. Estas ecuaciones tienen la forma general:

$\sigma_{ij} = \sum_{k, l} C_{ijkl}\varepsilon_{kl} \,$

Gran parte de las estructuras de ingeniería son diseñadas para sufrir deformaciones pequeñas,se involucran sólo en la recta del diagrama de esfuerzo y deformación.
De tal forma que la deformación $\epsilon$ es una cantidad adimensional, el modulo $E$ se expresa en las mismas unidades que el esfuerzo $\sigma$ (unidades pa, psi y ksi). El máximo valor del esfuerzo para el que puede emplearse la ley de Hooke en un material es conocido como límite de proporcionalidad de un material. En este caso, los materiales dúctiles que poseen un punto de cedencia definido; en ciertos materiales no puede definirse la proporcionalidad de cedencia fácilmente, ya que es difícil determinar con precisión el valor del esfuerzo $\sigma$ para el que la similitud entre $\sigma$ y $\epsilon$ deje de ser lineal. Al utilizar la ley de Hooke en valores mayores que el límite de proporcionalidad no conducirá a ningún error significativo. En resistencia de materiales se involucra en las propiedades físicas de materiales, como resistencia, ductibilidad y resistencia de corrosión; que pueden afectarse debido a la aleación, el tratamiento térmico y el proceso de manofactura.

"Primera ley de Newton o Ley de la inercia"

La primera ley del movimiento rebate la idea aristotélica de que un cuerpo sólo puede mantenerse en movimiento si se le aplica una fuerza. Newton expone que:

Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que sea obligado a cambiar su estado por fuerzas impresas sobre él.

Esta ley postula, por tanto, que un cuerpo no puede cambiar por sí solo su estado inicial, ya sea en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme, a menos que se aplique una fuerza o una serie de fuerzas cuyo resultante no sea nulo sobre él. Newton toma en cuenta, así, el que los cuerpos en movimiento están sometidos constantemente a fuerzas de roce o fricción, que los frena de forma progresiva, algo respecto de concepciones anteriores que entendían que el movimiento o la detención de un cuerpo se debía exclusivamente a si se ejercía sobre ellos una fuerza, pero nunca entendiendo como esta a la fricción.
En consnovedoso ecuencia, un cuerpo con movimiento rectilíneo uniforme implica que no existe ninguna fuerza externa neta o, dicho de otra forma; un objeto en movimiento no se detiene de forma natural si no se aplica una fuerza sobre él. En el caso de los cuerpos en reposo, se entiende que su velocidad es cero, por lo que si esta cambia es porque sobre ese cuerpo se ha ejercido una fuerza neta.
Ejemplo, para un pasajero de un tren, el interventor viene caminando lentamente por el pasillo del tren, mientras que para alguien que ve pasar el tren desde el andén de una estación, el interventor se está moviendo a una gran velocidad. Se necesita, por tanto, un sistema de referencia al cual referir el movimiento.
La primera ley de Newton sirve para definir un tipo especial de sistemas de referencia conocidos como Sistemas de referencia inerciales, que son aquellos sistemas de referencia desde los que se observa que un cuerpo sobre el que no actúa ninguna fuerza neta se mueve con velocidad constante.
En realidad, es imposible encontrar un sistema de referencia inercial, puesto que siempre hay algún tipo de fuerzas actuando sobre los cuerpos, pero siempre es posible encontrar un sistema de referencia en el que el problema que estemos estudiando se pueda tratar como si estuviésemos en un sistema inercial. En muchos casos, por ejemplo, suponer a un observador fijo en la Tierra es una buena aproximación de sistema inercial. Lo anterior porque a pesar que la Tierra cuenta con una aceleración traslacional y rotacional estas son del orden de 0.01 m/s^2 y en consecuencia podemos considerar que un sistema de referencia de un observador dentro de la superficie terrestre es un sistema de referencia inercial.

"Segunda ley de Newton o Ley de fuerza"

La segunda ley del movimiento de Newton dice que

El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime.

Esta ley explica qué ocurre si sobre un cuerpo en movimiento (cuya masa no tiene por qué ser constante) actúa una fuerza neta: la fuerza modificará el estado de movimiento, cambiando la velocidad en módulo o dirección. En concreto, los cambios experimentados en el momento lineal de un cuerpo son proporcionales a la fuerza motriz y se desarrollan en la dirección de esta; esto es, las fuerzas son causas que producen aceleraciones en los cuerpos. Consecuentemente, hay relación entre la causa y el efecto, esto es, la fuerza y la aceleración están relacionadas. Dicho sintéticamente, la fuerza se define simplemente en función del momento en que se aplica a un objeto, con lo que dos fuerzas serán iguales si causan la misma tasa de cambio en el momento del objeto.
En términos matemáticos esta ley se expresa mediante la relación:

$\mathbf{F}_{\text{net}} = {\mathrm{d}\mathbf{p} \over \mathrm{d}t}$

Donde:

$\mathbf{p}$ es el momento lineal

$\mathbf{F}_{\text{net}}$ la fuerza total o fuerza resultante.

Suponiendo que la masa es constante y que la velocidad es muy inferior a la velocidad de la luz la ecuación anterior se puede reescribir de la siguiente manera:
Sabemos que $\mathbf{p}$ es el momento lineal, que se puede escribir m.V donde m es la masa del cuerpo y V su velocidad.

$\mathbf{F}_{\text{net}} = {\mathrm{d}(m\mathbf{v}) \over \mathrm{d}t}$

Consideramos a la masa constante y podemos escribir ${\mathrm{d}\mathbf{v} \over \mathrm{d}t}=\mathbf{a}$ aplicando estas modificaciones a la ecuación anterior:

$\mathbf{F} = m\mathbf{a}$

que es la ecuación fundamental de la dinámica, donde la constante de proporcionalidad, distinta para cada cuerpo, es su masa de inercia. Veamos lo siguiente, si despejamos m de la ecuación anterior obtenemos que m es la relación que existe entre $\mathbf{F}$ y $\mathbf{a}$ . Es decir la relación que hay entre la fuerza aplicada al cuerpo y la aceleración obtenida. Cuando un cuerpo tiene una gran resistencia a cambiar su aceleración (una gran masa) se dice que tiene mucha inercia. Es por esta razón por la que la masa se define como una medida de la inercia del cuerpo.
Por tanto, si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula no es cero, esta partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud de la resultante y en dirección de ésta. La expresión anterior así establecida es válida tanto para la mecánica clásica como para la mecánica relativista, a pesar de que la definición de momento lineal es diferente en las dos teorías: mientras que la dinámica clásica afirma que la masa de un cuerpo es siempre la misma, con independencia de la velocidad con la que se mueve, la mecánica relativista establece que la masa de un cuerpo aumenta al crecer la velocidad con la que se mueve dicho cuerpo.
De la ecuación fundamental se deriva también la definición de la unidad de fuerza o newton (N). Si la masa y la aceleración valen 1, la fuerza también valdrá 1; así, pues, el newton es la fuerza que aplicada a una masa de un kilogramo le produce una aceleración de 1 m/s². Se entiende que la aceleración y la fuerza han de tener la misma dirección y sentido.
La importancia de esa ecuación estriba sobre todo en que resuelve el problema de la dinámica de determinar la clase de fuerza que se necesita para producir los diferentes tipos de movimiento: rectilíneo uniforme (m.r.u), circular uniforme (m.c.u) y uniformemente acelerado (m.r.u.a).
Si sobre el cuerpo actúan muchas fuerzas, habría que determinar primero el vector suma de todas esas fuerzas. Por último, si se tratase de un objeto que cayese hacia la tierra con una resistencia del aire igual a cero, la fuerza sería su peso, que provocaría una aceleración descendente igual a la de la gravedad.

"Tercera ley de Newton o Ley de acción y reacción"

Con toda acción ocurre siempre una reacción igual y contraria: o sea, las acciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en sentido opuesto.

La tercera ley es completamente original de Newton (pues las dos primeras ya habían sido propuestas de otras maneras por Galileo, Hooke y Huygens) y hace de las leyes de la mecánica un conjunto lógico y completo. Expone que por cada fuerza que actúa sobre un cuerpo (empuje), este realiza una fuerza de igual intensidad, pero de sentido contrario sobre el cuerpo que la produjo. Dicho de otra forma, las fuerzas, situadas sobre la misma recta, siempre se presentan en pares de igual magnitud y de dirección, pero con sentido opuesto.
Este principio presupone que la interacción entre dos partículas se propaga instantáneamente en el espacio (lo cual requeriría velocidad infinita), y en su formulación original no es válido para fuerzas electromagnéticas puesto que estas no se propagan por el espacio de modo instantáneo sino que lo hacen a velocidad finita "c".
Es importante observar que este principio de acción y reacción relaciona dos fuerzas que no están aplicadas al mismo cuerpo, produciendo en ellos aceleraciones diferentes, según sean sus masas. Por lo demás, cada una de esas fuerzas obedece por separado a la segunda ley. Junto con las anteriores leyes, ésta permite enunciar los principios de conservación del momento lineal y del momento angular.

CAIDA LIBRE Y TIRO VERTICAL

En estos movimientos el desplazamiento es en una sola dirección que corresponde al eje vertical (eje "Y").

Es un movimiento uniformemente acelerado y la aceleración qu actúa sobre los cuerpos es la de gravedad representada por la letra g.

Sus vaores son.

g=9.81 m/s2 SI. g=981 cm/s2

g=32.16 ft/s2 S. Inglés.

Lo que diferencia a la caida libre del tiro vertical es que el segundo co,prende subida y bajada, mientras que la cida libre unicamente contempla la bajada de los cuerpos.

FÓRMULAS DE CAIDA LIBRE:

Vf= Vo +gt

Vf2= Vo2 +2gh

h= Vo t + g t2 /2

TIPS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE CAIDA LIBRE:

1.-Un objeto se deja caer......... Vo=0

2.-Se lanza...................... Vo diferente a 0

PROBLEMA:
*Se deja caer una pelota desde la parte alta de un edificion, si tarda 3s en llegar al piso ¿Cuál es la altura del edificio? ¿Con qué velocidad se impacta contra el piso?

h= ? Vf= vO +gt

t= 3s Vf= 0 + (9.81 m/s2)(3s)

Vf= ? Vf=29.43 m/s

Vo= 0m/s

g=-9.81 m/s2 h=vo*t + 1/2 gt2

h=1/2 (9.81m/s2)(3s)2

h=44.14 m

TIRO VERTICAL

Al igual que caida libre es un movimiento uniformemente acelerado.

Diferencia: Forma ascendente y descendente.

Vo diferente a 0 sube:+ baja: -

Al igual que la caida libre es un movimiento sujeto a la aceleración de la gravedad, sólo que ahora la aceleración se opone al movimiento inicial del objeto. El tiro vertical comprende subida, bajada de los cuerpos u objetos considerando lo siguiente:

a)Nunca la velocidad inicial es igual a 0.

b)Cuando el objeto alcanza su altura máxima, su velocidad en este punto es 0. Mientras que el objeto se encuentra se subida el signo de la V es positivo; la V es 0 a su altura máxima cuando comienza a descender su velocidad será negativa

c)Si el objeto tarda por ejmplo 2s en alcanzar su altura máxima tardará 2s en regresar a la posición original, por lo tanto el tiemop que permaneció en el aire el objeto es de 4s.

d)Para la misma posición del lanzamiento la velocidad de subida es igual a la velocidad de bajada.

Fórmulas:

Vf= Vo-gt

Vf2= Vo2 - 2gh

h= Vo * t - 1/2 at2

PROBLEMAS:

*Se lanza verticalmente hacia arriba una pelota con una velocidad inicial de 30 m/s,calcula:

a)Tiempo que tarda en alcanzar su altura max.

b)Altura max.

c) Posición y velocidad de la pelota a los 2s de haberse lanzado

d)V y posición de la pelota a los 5s de haber sido lanzado

e)tiempo que la pelota estuvo en el aire.

Vo= 30m/s t= Vf - Vo / g

t= ? t= 0m/s - 30m/s / 9.81 m/s2

h= ? a) t= 3.058 s

Vf= 0 m/s b)h= Vf2 - Vo2 / -2g

g=-9.81m/s 2 h= 0m/s - 900 m/s / -(2)(9.81 m/s2)

h= 45.87 m

Vf= Vo -gt

Vf= 30m/s - 9.81 m/s2 * 2s

c) Vf= 0.38 m/s h= 40.38m

Vf= 30m,/s - 9.81 m/s2 * 5s

d) Vf= -19.05 m/s h=27.37 m

t= 3.05 s * 2

e) t= 6.10 s

lunes, 25 de junio de 2012

"Ley de Hooke en sólidos elásticos"

"Tercera ley de Newton o Ley de acción y reacción"